![【新課程】数研出版：数学Ⅱ[709]](play.jpg)
【新課程】数研出版：数学Ⅱ[709]
このページは、数研出版：数学Ⅱ[709] 第１章 式と証明それぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にありますので参考にしてください。 また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。
数研出版：数学Ｂ[710]の解答はこちらから↓
【新課程】数研出版：数学Ｂ[710]このページは、数研出版：数学Ｂ 第１章 数列それぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先...yorikuwa.com 教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...yorikuwa.com リンク文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。 各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。 数研出版数学Ⅱ 第１章 式と証明 数研出版数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式 数研出版数学Ⅱ 第３章 図形と方程式 数研出版数学Ⅱ 第４章 三角関数 数研出版数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数 数研出版数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
目次
- 第１章 式と証明
- 第１節 式と計算
- 第２節 等式と不等式の証明
- 演習問題 式と証明
第１章 式と証明
第１節 式と計算 p.9 練習1\({\small (1)}~x^3+3x^2+3x+1\) \({\small (2)}~x^3-6x^2+12x-8\) \({\small (3)}~27a^3+27a^2b+9ab^2+b^3\) \({\small (4)}~8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3\) 解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式 p.9 問1[証明] \(~~~(a+b)(a^2-ab+b^2)\) \(~=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\) \(~=a^3+b^3\) [終] [証明] \(~~~(a-b)(a^2+ab+b^2)\) \(~=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\) \(~=a^3-b^3\) [終] 解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式 p.9 練習2\({\small (1)}~x^3+8\) \({\small (2)}~x^3-27\) \({\small (3)}~27x^3+y^3\) \({\small (4)}~8x^3-27a^3\) 解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式 p.10 練習3\({\small (1)}~(x+2)(x^2-2x+4)\) \({\small (2)}~(x-4)(x^2+4x+16)\) \({\small (3)}~(a+3b)(a^2-3ab+9b^2)\) \({\small (4)}~(2x-5y)(4x^2+10xy+25y^2)\) 解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式 p.10 練習4 \({\small (1)}~(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\) \({\small (2)}~(a+b)(a+2b)(a^2-ab+b^2)(a^2-2ab+4b^2)\)※ 数式は横にスクロールできます。
解法のPoint｜6次式と3次式の因数分解 p.10 深める \(\begin{split}&x^6-y^6\\[2pt]=~&(x^2)^3-(y^2)^3\\[2pt]&(x^2-y^2)\{(x^2)^2+x^2y^2+(y^2)^2\}\\[2pt]=~&(x^2-y^2)\{x^4+2x^2y^2+y^4-(xy)^2\}\\[2pt]~~=~&(x^2-y^2)\{(x^2+y^2)^2-(xy)^2\}\\[2pt]~~=~&(x^2-y^2)(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)\\[2pt]~~=~&(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\end{split}\)※ 数式は横にスクロールできます。
解法のPoint｜6次式と3次式の因数分解 p.11 問2\(~5~,~10~,~10~,~5\) 解法のPoint｜二項定理と展開式 p.12 練習5 \(1~,~6~,~15~,~20~,~15~,~6~,~1\) \(1~,~7~,~21~,~35~,~35~,~21~,~7~,~1\) 解法のPoint｜二項定理と展開式 p.13 練習6 \(\begin{split}&{\small (1)}~a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5\end{split}\) \(\begin{split}&{\small (2)}~x^6+12x^5+60x^4+160x^3+240x^2+192x+64\end{split}\)※ 数式は横にスクロールできます。
解法のPoint｜二項定理と展開式 p.13 練習7\({\small (1)}~4860\) \({\small (2)}~-720\) 解法のPoint｜二項定理と項の係数 p.13 深める\(1.~~{}_{ n } {\rm C}_{ 0 }=1~,~{}_{ n } {\rm C}_{ 1 }=n\) \(2.~~{}_{ n } {\rm C}_{ r+1 }={}_{ n-1 } {\rm C}_{ r }+{}_{ n-1 } {\rm C}_{ r+1 }\) p.14 練習8\({\small (1)}~\)[証明] (左辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&0 \\[3pt]~~~&=&\{1+(-1)\}^n\end{eqnarray}\) 二項定理の展開式より、 \(\begin{eqnarray}~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0 \cdot 1^n \cdot (-1)^0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot 1^{n-1} \cdot (-1)^1+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot 1^{n-2} \cdot (-1)^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot 1^0 \cdot (-1)^n \\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、 \({}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)[証明] (左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(-1)^n \\[3pt]~~~&=&(1+(-2))^n\end{eqnarray}\) 二項定理の展開式より、 \(\begin{eqnarray}~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0 \cdot 1^n \cdot (-2)^0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot 1^{n-1} \cdot (-2)^1+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot 1^{n-2} \cdot (-2)^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot 1^0 \cdot (-2)^n \\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0-2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-2)^n{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、 \({}_n \mathrm{ C }_0-2{}_n \mathrm{ C }_1+2^2{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-2)^n{}_n \mathrm{ C }_n=(-1)^n\)[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.14 練習9\({\small (1)}~105\) \({\small (2)}~140\) \({\small (3)}~35\) 解法のPoint｜(a+b+c)ⁿの項の係数 p.15 研究 練習1\(~~~2520\) 解法のPoint｜多項定理を用いた展開式の項の係数 p.17 練習10\({\small (1)}~\)商 \(3x-4\)、余り \(6\) \({\small (2)}~\)商 \(2x+1\)、余り \(2x+2\) \({\small (3)}~\)商 \(4x-1\)、余り \(-7x+3\) 解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り p.18 練習11\(~~~{\rm B}=x^2+3x-2\) 解法のPoint｜商と余りと割る多項式 p.18 練習12 商 \(x^2-ax+2a^2\)、余り \(-2a^3\) 解法のPoint｜2種類の文字を含む多項式の割り算 p.19 練習13\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,ax^2\,}{\,5y\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x+5\,}{\,x-3\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,x^2+x+1\,}\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,a(a+4b)\,}{\,2(a-b)\,}\) 解法のPoint｜分数式と共通因数の約分 p.20 練習14\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x-3y\,}{\,x\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-4\,}\) 解法のPoint｜分数式の乗法・除法 p.20 練習15\({\small (1)}~x-2\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x+a\,}\) 解法のPoint｜分数式の加法・減法 p.21 練習16\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x(x+2)\,}\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}\) 解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法 p.21 練習17\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\) \({\small (2)}~-a+1\) 解法のPoint｜分母分子に分数式を含む分数式 p.22 問3 (2) と (4) 解法のPoint｜恒等式となる等式の条件 p.23 練習18\({\small (1)}~a=3~,~b=-1\) \({\small (2)}~a=1~,~b=2~,~c=1\) \({\small (3)}~a=1~,~b=-3~,~c=1~,~d=0\) 解法のPoint｜恒等式となる等式の条件 p.24 練習19\(~~~a=-3~,~b=5\) 解法のPoint｜分数式の恒等式
問題
p.26 問題 1\({\small (1)}~\) \(8x^3y^3+12x^2y^2+6xy+1\) 解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式 \({\small (2)}~\) \(a^6-2a^3b^3+b^6\) 解法のPoint｜2乗×2乗の式の展開 p.26 問題 2\({\small (1)}~\) \((x+yz)(x^2-xyz+y^2z^2)\) \({\small (2)}~\) \((x+y-1)(x^2+2xy+y^2+x+y+1)\) 解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式 \({\small (3)}~\) \((a-3)^3\) 解法のPoint｜a³+3a²b+3ab²+b³の因数分解の公式 p.26 問題 3\({\small (1)}~\) \(-2916\) 解法のPoint｜x²を含む展開式の項の係数 \({\small (2)}~\) \(-90\) 解法のPoint｜多項定理を用いた展開式の項の係数 p.26 問題 4\({\small (1)}~\) 商 \(2x+5\)，余り \(6x-7\) 解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り \({\small (2)}~\) 商 \(x^2-x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)，余り \(-\displaystyle\frac{\,15\,}{\,2\,}\) 解法のPoint｜商に分数を含む多項式の割り算 p.26 問題 5 \(3x^3-2x^2-5x+1\) 解法のPoint｜商と余りと割られる多項式 p.26 問題 6\({\small (1)}~\) \(1\) \({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,2x-y\,}{\,2x+y\,}\) 解法のPoint｜分数式の乗法・除法 \({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,(x+1)^2(x+2)\,}\) \({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,3x-2\,}{\,(2x-1)(x-1)\,}\) 解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法 p.26 問題 7\({\small (1)}~\) \(a=2~,~b=-2~,~c=1\) \({\small (2)}~\) \(a=-3~,~b=1~,~c=-2\) 解法のPoint｜恒等式となる等式の条件 \({\small (3)}~\) \(a=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~b=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~c=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\) 解法のPoint｜分数式の恒等式 p.26 問題 \(98\) ■ この問題の詳しい解説はこちら！
第２節 等式と不等式の証明 p.28 練習20\({\small (1)}~\)[証明] (右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+x+1)(x^2-x+1) \\[3pt]~~~&=&\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\} \\[3pt]~~~&=&(x^2+1)^2-x^2 \\[3pt]~~~&=&x^4+2x^2+1-x^2 \\[3pt]~~~&=&x^4+x^2+1\end{eqnarray}\) したがって、\(x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] (左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2-b^2)(x^2-y^2) \\[3pt]~~~&=&a^2x^2-a^2y^2-b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\) (右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by)^2-(ay+bx)^2 \\[3pt]~~~&=&a^2x^2+2abxy+b^2y^2-(a^2y^2+2abxy+b^2x^2) \\[3pt]~~~&=&a^2x^2+2abxy+b^2y^2-a^2y^2-2abxy-b^2x^2 \\[3pt]~~~&=&a^2x^2+b^2y^2-a^2y^2-b^2x^2 \\[3pt]~~~&=&a^2x^2-a^2y^2-b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\) したがって、 \((a^2-b^2)(x^2-y^2)=(ax+by)^2-(ay+bx)^2\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.28 練習21\({\small (1)}\) [証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\) （左辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-bc \\[3pt]~~~&=&a^2-b(-a-b) \\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2-ac \\[3pt]~~~&=&b^2-a(-a-b) \\[3pt]~~~&=&b^2+a^2+ab \\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)したがって、\(a^2-bc=b^2-ac\) [終]
\({\small (2)}\) [証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+(-a-b)^2+2ab+2b(-a-b)+2(-a-b)a \\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2+2ab-2ab-2b^2-2a^2-2ab \\[3pt]~~~&=&a^2+a^2-2a^2+b^2+b^2-2b^2+2ab+2ab-2ab-2ab \\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)したがって、 \(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.28 練習22[証明] \(a+b+c=0\) より、 \(a+b=-c~,~b+c=-a~,~c+a=-b\) （左辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc \\[3pt]~~~&=&ab(-c)+bc(-a)+ca(-b)+3abc \\[3pt]~~~&=&-abc-abc-abc+3abc \\[3pt]~~~&=&-3abc+3abc \\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)したがって、 \(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.28 深める[証明] (右辺)\(\begin{split}=~&a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2\\[2pt]&~a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc\\[2pt]&~a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-c^2a\\[2pt]=~&a^3+b^3+c^3-3abc\end{split}\) したがって、\(~a^3+b^3+c^3-3abc\) \(~=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) [終] [証明] (左辺)−(右辺)\(\begin{split}~=~&a^3+b^3+c^3-3abc\\[2pt]~=~&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{split}\) \(a+b+c=0\) より、\(=~0\) したがって、\(~a^2+b^2+c^2=3abc\) [終] p.29 練習23\({\small (1)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、 \(a=kb~,~c=kd\) （左辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,3a+2c\,}{\,3b+2d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3kb+2kd\,}{\,3b+2d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(3b+2d)\,}{\,3b+2d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\) （右辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,3a-2c\,}{\,3b-2d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3kb-2kd\,}{\,3b-2d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(3b-2d)\,}{\,3b-2d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\) したがって、\(\displaystyle\frac{\,3a+2c\,}{\,3b+2d\,}=\displaystyle\frac{\,3a-2c\,}{\,3b-2d\,}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\) （左辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2-b^2\,}{\,a^2+b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2-b^2\,}{\,(kb)^2+b^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2-b^2\,}{\,k^2 b^2+b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b^2(k^2-1)\,}{\,b^2(k^2+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2-1\,}{\,k^2+1\,}\end{eqnarray}\) （右辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,c^2-d^2\,}{\,c^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kd)^2-d^2\,}{\,(kd)^2+d^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 d^2-d^2\,}{\,k^2 d^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,d^2(k^2-1)\,}{\,d^2(k^2+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2-1\,}{\,k^2+1\,}\end{eqnarray}\) したがって、\(\displaystyle\frac{\,a^2-b^2\,}{\,a^2+b^2\,}=\displaystyle\frac{\,c^2-d^2\,}{\,c^2+d^2\,}\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.29 練習24[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、 \(a=kb~,~c=kd\) （左辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,m \cdot kb+n \cdot kd\,}{\,mb+nd\,}\hspace{20pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(mb+nd)\,}{\,mb+nd\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\) （右辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb\,}{\,b\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\) したがって、\(\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}=\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.29 深める [証明] (左辺)−(右辺)\(\begin{split}=~&\displaystyle \frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}-\displaystyle \frac{\,a-c\,}{\,b-d\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,(a+c)(b-d)-(a-c)(b+d)\,}{\,(b+d)(b-d)\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,-2ad+2bc\,}{\,b^2-d^2\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,-2(ad-bc)\,}{\,b^2-d^2\,}\end{split}\) \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,d\,}\) より、\(ad-bc=0\) であるので、\(~~=~0\) したがって、\(~~~\displaystyle \frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle \frac{\,a-c\,}{\,b-d\,}\) [終] p.30 練習25\(~~~a=9~,~b=12~,~c=15\) 解法のPoint｜連比を用いた計算 p.30 練習26\(~~~a:b:c=2:1:3\) 解法のPoint｜2つの文字の和と連比 p.31 問4\({\small (1)}~\)[証明] \(a>b\) と基本性質２より \(a+c>b+c\) \(c>d\) と基本性質２より \(c+b>d+b\) これらと、基本性質１より、 \(a+c>b+d\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a>b~,~c>0\) と基本性質３より \(ac>bc\) \(c>d~,~b>0\) と基本性質３より \(bc>bd\) これらと、基本性質１より、 \(ac>bd\) [終]
p.32 練習27［証明］ (左辺)－(右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(ac+bd)-(ad+bc) \\[3pt]~~~&=&ac+bd-ad-bc \\[3pt]~~~&=&ac-ad-bc+bd \\[3pt]~~~&=&(c-d)a-(c-d)b \\[3pt]~~~&=&(a-b)(c-d)\end{eqnarray}\) ここで、\(a \gt b~,~c \gt d\) より、 \(a-b \gt 0~,~c-d \gt 0\) であるから、 \((a-b)(c-d) \gt 0\) したがって、 \((ac+bd)-(ad+bc) \gt 0\) となり、 \(ac+bd \gt ad+bc\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.32 問5[証明] (左辺)－(右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2)-2ab \\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2 \\[3pt]~~~&=&(a-b)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\) よって、\(a^2+b^2{\small ~≧~}2ab\) [終] また、等号が成立するのは、 \(a-b=0\) すなわち \(a=b\) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.33 練習28\({\small (1)}~\)[証明] (左辺)－(右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+ab+b^2-0 \\[3pt]~~~&=&a^2+b\,a+b^2\end{eqnarray}\) \( a \) について、平方完成すると、 \(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a^2+ba+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+b^2 \\[5pt]~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\end{eqnarray}\) ここで、\( \left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0 \) より、 \(\begin{eqnarray}~~~\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\) よって、\( a^2+ab+b^2{\small ~≧~}0 \) [終] また、等号が成立するのは、 \(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}=0\) かつ \(b=0\) \(~\Leftrightarrow~a=-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\) より、\(a=0\) すなわち \( a=b=0 \) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ \({\small (2)}~\)[証明] (左辺)－(右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2 \\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2) \\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2abxy-b^2y^2 \\[3pt]~~~&=&a^2y^2-2abxy+b^2x^2 \\[3pt]~~~&=&(ay-bx)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\) よって、\((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\) [終] また、等号が成立するのは、 \(ay-bx=0\) すなわち \(ay=bx\) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.33 練習29[証明] (左辺)－(右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2-2(a+b-1) \\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2a-2b+2 \\[3pt]~~~&=&(a^2-2a)+(b^2-2b)+2 \\[3pt]~~~&=&(a^2-2a+1)-1+(b^2-2b+1)-1+2 \\[3pt]~~~&=&(a-1)^2+(b-1)^2\end{eqnarray}\) ここで、\( (a-1)^2{\small ~≧~}0~,~(b-1)^2{\small ~≧~}0 \) より、 \(\begin{eqnarray}~~~(a-1)^2+(b-1)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\) よって、\( a^2+b^2{\small ~≧~}2(a+b-1) \) [終] また、等号が成立するのは、 \(a-1=0\) かつ \(b-1=0\) すなわち \( a=b=1 \) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.34 練習30[証明] 両辺の平方の差は、 (左辺)²－(右辺)² \(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{9a+4b}\right)^2 \\[3pt]~~~&=&\left(3\sqrt{a}\right)^2+2\cdot 3\sqrt{a}\cdot 2\sqrt{b}+\left(2\sqrt{b}\right)^2-(9a+4b) \\[3pt]~~~&=&9a+12\sqrt{ab}+4b-9a-4b \\[3pt]~~~&=&12\sqrt{ab}~\gt~0\end{eqnarray}\) よって、 \(\left(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\right)^2 \gt \left(\sqrt{9a+4b}\right)^2\) ここで、\( 3\sqrt{a}+2\sqrt{b} \gt 0 \)、\( \sqrt{9a+4b} \gt 0 \) より、 \(3\sqrt{a}+2\sqrt{b} \gt \sqrt{9a+4b}\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.35 練習31[証明] 両辺の平方の差は、 (右辺)²－(左辺)² \(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2-|\,a-b\,|^2 \\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2-(a-b)^2 \\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-\left(\,a^2-2ab+b^2\,\right) \\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-a^2+2ab-b^2 \\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\) よって、\(|\,a-b\,|^2{\small ~≦~}\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2\) \(|\,a-b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}0\) より、 \(|\,a-b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\) [終] 等号が成り立つのは、 \(|\,ab\,|+ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=-ab\) すなわち \(ab{\small ~≦~}0\) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.37 問6［証明］ (左辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right) \\[5pt]~~~&=&a\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+a\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,a\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,} \\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+1 \\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\) ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、 \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,} \gt 0~,~\frac{\,b\,}{\,a\,} \gt 0\) よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、 \(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,b\,}{\,a\,}} \\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)よって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(2\) を加えると、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2{\small ~≧~}2+2\) \({\small [\,1\,]}\) より、 \(\displaystyle (a+b)\left(\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow ~ a^2=b^2\) \(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(a=b\) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.37 練習32\({\small (1)}~\)[証明] \(a\gt 0\) より、\(2a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}\gt 0\) よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、 \(\begin{eqnarray}~~~2a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,2a\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}\,} \\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\) したがって、\(2a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\,6\,}\) [終] また、等号が成り立つのは、 \(\begin{eqnarray}~~~2a=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~2a^2&=&3\\[5pt]~~~a^2&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\) \(a\gt 0\) より、\(a=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ \({\small (2)}~\)［証明］ (左辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\displaystyle\frac{\,b\,}{\,a\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\right)\left(\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,c\,}{\,d\,}\right) \\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b\,}{\,a\,}\cdot\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}\cdot\frac{\,c\,}{\,d\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\cdot\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\cdot\frac{\,c\,}{\,d\,} \\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+1 \\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\) ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~d \gt 0\) より、 \(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,} \gt 0~,~\frac{\,ad\,}{\,bc\,} \gt 0\) よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、 \(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,bc\,}{\,ad\,}\cdot\frac{\,ad\,}{\,bc\,}} \\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)よって、\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(2\) を加えると、
\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+2{\small ~≧~}2+2\) \({\small [\,1\,]}\) より、 \(\displaystyle \left(\frac{\,b\,}{\,a\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\right)\left(\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,c\,}{\,d\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}=\frac{\,ad\,}{\,bc\,}~\Leftrightarrow ~ (bc)^2=(ad)^2\) \(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~d \gt 0\) より、\(ad=bc\) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.37 深めるそれぞれの等号成立条件は、 \(x>0\) かつ \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) より、\(x=1\) \(x>0\) かつ \(x=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}\) より、\(x=2\) となるので、\(~x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=2~,~x+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}=4\) を同時に満たす \(x\) は存在しないから
問題
p.38 問題9\({\small (1)}~\)[証明] (右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3-3\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right) \\[5pt]~~~&=&x^3+3\cdot x^2\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+3\cdot x\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}-3x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,} \\[5pt]~~~&=&x^3+3x+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}-3x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,} \\[5pt]~~~&=&x^3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}\end{eqnarray}\) したがって、\(x^3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}=\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3-3\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] (右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3+3\left(x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right) \\[5pt]~~~&=&x^3-3\cdot x^2\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+3\cdot x\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}+3x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,} \\[5pt]~~~&=&x^3-3x+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}+3x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,} \\[5pt]~~~&=&x^3-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}\end{eqnarray}\) したがって、\(x^3-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}=\left(x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3+3\left(x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.38 問題10[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\) （左辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&(b+c)^2+(c+a)^2+(a+b)^2+2(bc+ca+ab) \\[3pt]~~~&=&\{b+(-a-b)\}^2+\{(-a-b)+a\}^2+(a+b)^2+2\{b(-a-b)+(-a-b)a+ab\} \\[3pt]~~~&=&(-a)^2+(-b)^2+(a+b)^2+2(-ab-b^2-a^2-ab+ab) \\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2+2(-a^2-b^2-ab) \\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2-2ab \\[3pt]~~~&=&a^2+a^2-2a^2+b^2+b^2-2b^2+2ab-2ab \\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)したがって、
\((b+c)^2+(c+a)^2+(a+b)^2+2(bc+ca+ab)=0\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.38 問題11[証明] \(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,a\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,c\,}=k\) とおくと、 \(x=ka~,~y=kb~,~z=kc\) （左辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+2y+3z\,}{\,a+2b+3c\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,ka+2kb+3kc\,}{\,a+2b+3c\,}\hspace{25pt}(\,∵~ x=ka~,~y=kb~,~z=kc\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(a+2b+3c)\,}{\,a+2b+3c\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\) （右辺） \(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+y+z\,}{\,a+b+c\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,ka+kb+kc\,}{\,a+b+c\,}\hspace{25pt}(\,∵~ x=ka~,~y=kb~,~z=kc\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(a+b+c)\,}{\,a+b+c\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\) したがって、\(\displaystyle\frac{\,x+2y+3z\,}{\,a+2b+3c\,}=\displaystyle\frac{\,x+y+z\,}{\,a+b+c\,}\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.38 問題12[証明] 両辺の平方の差は、 (右辺)²－(左辺)² \(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2-\left(\sqrt{1+a}\right)^2 \\[5pt]~~~&=&1+a+\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}-(1+a) \\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}~\gt~0\end{eqnarray}\) よって、 \(\left(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2 \gt \left(\sqrt{1+a}\right)^2\) ここで、\( a \gt 0 \) であるので、\( 1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \gt 0 \)、\( \sqrt{1+a} \gt 0 \) より、 \(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \gt \sqrt{1+a}\) したがって、 \(\sqrt{1+a} \lt 1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.38 問題13\({\small (1)}~\)[証明] \(\small [\,1\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|\lt 0\) のとき \(|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) であるから、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) は成り立つ \(\small [\,2\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0\) のとき 両辺の平方の差は、 (右辺)²－(左辺)² \(\begin{eqnarray}~~~&=&|\,a-b\,|^2-\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2 \\[3pt]~~~&=&(a-b)^2-\left(\,|\,a\,|^2-2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right) \\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2-a^2+2|\,ab\,|-b^2 \\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|-ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\) ∵ \(|\,ab\,|{\small ~≧~}ab\) より、\(|\,ab\,|-ab{\small ~≧~}0\) よって、\(|\,a-b\,|^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) より、 \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) \(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) より、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(\small [\,1\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|\lt 0\) のとき \(|\,a+b\,|{\small ~≧~}0\) であるから、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) は成り立つ \(\small [\,2\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0\) のとき 両辺の平方の差は、 (右辺)²－(左辺)² \(\begin{eqnarray}~~~&=&|\,a+b\,|^2-\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2 \\[3pt]~~~&=&(a+b)^2-\left(\,|\,a\,|^2-2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right) \\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-a^2+2|\,ab\,|-b^2 \\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)∵ \(|\,ab\,|{\small ~≧~}-ab\) より、\(|\,ab\,|+ab{\small ~≧~}0\)
よって、\(|\,a+b\,|^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a+b\,|{\small ~≧~}0\) より、 \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) \(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) より、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.38 問題14\({\small (1)}~\)[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(ab\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}\gt 0\) よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、 \(\begin{eqnarray}~~~ab+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}\,} \\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\) したがって、\(ab+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}4\) [終] また、等号が成り立つのは、 \(\begin{eqnarray}~~~ab=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow~(ab)^2&=&4\end{eqnarray}\) \(ab\gt 0\) より、\(ab=2\) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ \({\small (2)}~\) ［証明］ (左辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,9\,}{\,a\,}\right) \\[5pt]~~~&=&a\cdot b+a\cdot\displaystyle\frac{\,9\,}{\,a\,}+\frac{\,4\,}{\,b\,}\cdot b+\frac{\,4\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,9\,}{\,a\,} \\[5pt]~~~&=&ab+9+4+\displaystyle\frac{\,36\,}{\,ab\,} \\[5pt]~~~&=&ab+\displaystyle\frac{\,36\,}{\,ab\,}+13~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\) ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、 \(\displaystyle ab \gt 0~,~\frac{\,36\,}{\,ab\,} \gt 0\) よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、 \(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{ab\cdot\frac{\,36\,}{\,ab\,}} \\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,36\,}=12\end{eqnarray}\)よって、\(\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}12~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(13\) を加えると、
\(\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}+13{\small ~≧~}12+13\) \({\small [\,1\,]}\) より、 \(\displaystyle \left(a+\frac{\,4\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,9\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}25\) [終]また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle ab=\frac{\,36\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow ~ (ab)^2=36\) \(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(ab=6\) のとき ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.38 問題 15 \(a=2\) のとき最小値 \(18\) ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.38 問題 16[証明] 長方形の隣り合う \(2\) 辺の長さを \(a~,~b\) とする 面積が一定値 \(S\) より、 \(ab=S~~~\cdots{\small [\,1\,]}\) また、周の長さは \(2(a+b)\) である \(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係から、 \(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&\sqrt{ab} \\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&\sqrt{S}\hspace{20pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,) \\[5pt]~~~a+b&{\small ~≧~}&2\sqrt{S} \\[5pt]~~~2(a+b)&{\small ~≧~}&4\sqrt{S} \end{eqnarray}\) また、等号が成立するのは \(a=b\) のときで、そのとき周の長さは \(2(a+b)\) は最小値 \(4\sqrt{S}\) をとる よって、\(a=b\) のとき、この長方形は正方形となる したがって、面積が一定値 \(S\) である長方形のうち、周の長さが最小となるのは正方形である。 ■ この問題の詳しい解説はこちら！
演習問題 式と証明 p.39 演習問題A 1 \(0\) 解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法 p.39 演習問題A 2 \(a=3\)、商 \(x+2\) 解法のPoint｜文字係数を含む多項式の割り算 p.39 演習問題A 3[証明] (左辺)－(右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&a^3+b^3+c^3-3abc\end{eqnarray}\) 等式を用いると、 \(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{eqnarray}\) 後半部分を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) でくくり出すと、 \(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b+c) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca) \\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(a+b+c)\left\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\right\} \\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0\) より、\(a+b+c \gt 0\) \((a-b)^2 {\small ~≧~} 0~,~(b-c)^2 {\small ~≧~} 0~,~(c-a)^2 {\small ~≧~} 0\) より、\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 {\small ~≧~} 0\) であることから、 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\} {\small ~≧~} 0\)したがって、\(a^3+b^3+c^3 {\small ~≧~} 3abc\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.39 演習問題A 4[証明] \( (1+x)^n \) の展開式は二項定理より、 \(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x)^n \\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \,x+{}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n \\[3pt]~~~&=&1+nx+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)\end{eqnarray}\)ここで、\( n \) が2以上の自然数、\( x \gt 0 \) より、
\( {}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n \gt 0 \) よって、 \(\begin{eqnarray}~~~(1+x)^n&=&1+nx+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)\\[3pt]~~~&\gt&1+nx\end{eqnarray}\) したがって、\( (1+x)^n \gt 1+nx \) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.39 演習問題B 5 \(x=1~,~y=2\) ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.39 演習問題B 6[証明]（左辺）を \(x~,~y~,~z\) についてまとめると、 \(\begin{eqnarray}~~~&=&a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)\\[3pt]~~~&=&ay-az+bz-bx+cx-cy\\[3pt]~~~&=&(-b+c)x+(a-c)y+(-a+b)z\\[3pt]~~~&=&(c-b)x+(a-c)y+(b-a)z\end{eqnarray}\) ここで、\(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,b+c\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,c+a\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,a+b\,}=k\) とおくと、 \(x=k(b+c)~,~y=k(c+a)~,~z=k(a+b)\) これを代入すると、 \(\begin{eqnarray}~~~&=&(c-b) \cdot k(b+c)+(a-c) \cdot k(c+a)+(b-a) \cdot k(a+b)\\[3pt]~~~&=&k\left\{(c-b)(b+c)+(a-c)(c+a)+(b-a)(a+b)\right\}\\[3pt]~~~&=&k\left\{(c^2-b^2)+(a^2-c^2)+(b^2-a^2)\right\}\\[3pt]~~~&=&k \cdot 0\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\) （左辺）\(=\)（右辺）となるので、 \(a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.39 演習問題B 7[証明] 等式について、 (左辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\end{eqnarray}\) (右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 \\[3pt]~~~&=&a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2bcyz+2caxz \\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+a^2y^2-2abxy+b^2x^2 \\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+b^2z^2-2bcyz+c^2y^2 \\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+c^2x^2-2caxz+a^2z^2 \\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\end{eqnarray}\) したがって、 \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2\)
次に、不等式について、
(左辺)－(右辺) \(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2\end{eqnarray}\) 等式より、 \(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2-(ax+by+cz)^2 \\[3pt]~~~&=&(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\) したがって、 \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2){\small ~≧~}(ax+by+cz)^2\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.39 演習問題B 8 \(\displaystyle 2ab \lt \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt a^2+b^2\) ■ この問題の詳しい解説はこちら！ p.39 演習問題B 9\({\small (1)}~\)[証明] \(|\,a\,|\lt 1~,~|\,b\,|\lt 1\) より、 \(|\,ab\,| \lt 1\) よって、\(-1\lt ab\lt 1\) \(\begin{eqnarray}~~~-1&\lt &ab \\[3pt]~~~ab&\gt &-1 \\[3pt]~~~ab+1&\gt &0 \end{eqnarray}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 両辺の平方の差は、
(右辺)²－(左辺)² \(\begin{eqnarray}~~~&=&(1+ab)^2-|\,a+b\,|^2 \\[3pt]~~~&=&1+2ab+a^2b^2-(a+b)^2 \\[3pt]~~~&=&1+2ab+a^2b^2-\left(\,a^2+2ab+b^2\,\right) \\[3pt]~~~&=&1+a^2b^2-a^2-b^2 \\[3pt]~~~&=&\left(\,1-a^2\,\right)-b^2\left(\,1-a^2\,\right) \\[3pt]~~~&=&\left(\,1-a^2\,\right)\left(\,1-b^2\,\right)\end{eqnarray}\) ここで、\(|\,a\,|\lt 1\) より \(a^2\lt 1\) であるから、 \(1-a^2\gt 0\) また、\(|\,b\,|\lt 1\) より \(b^2\lt 1\) であるから、 \(1-b^2\gt 0\) よって、\(\left(\,1-a^2\,\right)\left(\,1-b^2\,\right)\gt 0\) ゆえに、\((1+ab)^2\gt |\,a+b\,|^2\) (1) より \(1+ab\gt 0\) であるから、 \(|\,a+b\,|\lt 1+ab\) [終] ■ この問題の詳しい解説はこちら！
次のページ「第２章 複素数と方程式」
次へ 123456BOT