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ここでは、単調極限定理＆確率の連続性について確認し、証明します。 動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。 前回→ 【確率論】確率の性質【劣加法性】証明付き - ドジソンの本棚

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証明の前に下のを確認しておきましょう。

事象の列が単調増加であるとき、すなわちであるならば、 であるので、 その極限を とします。

また、事象の列が単調減少であるとき、すなわちであるならば、 であるので、 その極限を とします。

次に、上極限、下極限は次のようにされます。

確認が済みましたので、証明に移ります。

事象の列に対し、単調列ならば が成立し、これを単調極限定理という。 もっと言えば、確率の連続性での単調極限定理である。

①単調増加列の場合 単調増加列であるを取り、とする。

このとき、は互いに排反となり、また･･･(i) であることに注意する。

σ加法性より、が成立するので、

(i)と単調増加列における極限のより、 上の結果とあわせて、が得られる。

②単調減少列の場合 余事象を取ればよい。 このとき、であり、 また、 であるので、が得られる。

よって単調極限定理を示せた。

極限を持つならば、すなわちであるならば、 が成立する。

これを確率の連続性という。単調性を必要としない点が上との違いである。

ポイントは、極限を持つということである。 まず下極限から見ていくと、である。

また、であり、 このとき、となることに注意する。

このは単調増加であるので、単調極限定理より、

逆も同様にして示すことができる。 は単調減少であるので、単調極限定理より、

以上より示すことができた。証明終わり。

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