１次関数のグラフの応用問題や難問｜中学数学～高校入試

1. １次関数のグラフの応用問題や難問
2. １次関数のグラフの応用問題の解き方とおすすめ反復方法

• 難関私立用『計算問題難問』頻出１０テーマ
• 基礎～難問『方程式の文章題』
• 基礎～難問『平方根の応用問題』
• 基礎～難問『さいころの確率』
• 基礎～難問『規則性の問題』
• 中学数学の問題一覧

１次関数のグラフの応用問題や難問｜定期テスト対策～高校入試対策

図のように、関数\(y=\dfrac{a}{x}\) のグラフ上に３点A、B、Cがある。 点Aと点Bは原点Oに対して点対象であり、 点Aのｘ座標は２ 点Bのｙ座標は−６ 点Cのｘ座標は−６である。 このとき、△ABCの面積を求めなさい。 解説答え： \(32\) ～着眼点～ 最初に定数aを求めたいところですが、情報が足りません。 点Aと点Bが原点Oに対して点対称なのでは？と気が付くところが突破口になります。

１次関数\(y=2ax-3\) と １次関数\(y=2bx+a+1\)のグラフが 交点\(\left( -1,b\right) \)を作るとき 定数a、bの値を求めなさい。 解説答え： \(a=-\dfrac{10}{7},b=-\dfrac{1}{7}\) ～気が付いてほしいポイント～ 「交点を作る」ということは、１次関数のグラフはその交点の座標を通るということです。 なので、１次関数の式にその交点の座標を代入しても、できあがった等式は成り立ちます。

一次関数\(y=ax+2a+7\) （a ＜0）のグラフについて ｘの変域が\(-5\leqq x\leqq 2\)であるとき ｙの変域が\(3\leqq y\leqq 2b\) となるような 定数a、bの値を求めなさい。 解説答え： \(a=-1,b=5\) ～対処法～ このような変域の問題は、変域をグラフに書き込んでから、求める一次関数がどのように書くことができるのか、という予測を立てます。この問題の場合、一次関数の傾きの符号までわかっているので、それも予測に利用します。

次の２つの条件を同時に満たす直線の式を求めなさい。

条件１：一次関数のグラフ\(y=\dfrac{1}{2}x-6\)との交点のｘ座標が８である。 条件２：ｘ軸との交点のｘ座標が４である。

次の３つの直線について考える。 \(y=\dfrac{1}{2}x+6\) \(y=x\) \(y=ax\) (aは定数) この３つの直線によって作られる三角形の面積が48であるとき、定数aの値を求めなさい。 ただしa＜0とする。 解説答え： \(a=-1\) ～最初にすること～ まずは、３本の直線をグラフを書いてみましょう。 \(y=ax\)の定数aが負の値なので、原点を通り、かつ右下がりのグラフであるというポイントをおさえておけば、だいたいのグラフでいいです。

座標平面上において、ｘ座標、ｙ座標ともに整数である点を格子点という。例えば点（２，３）は格子点である。

直線 \(y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}\) より下側にある格子点の座標をすべて求めよ。 ただし、直線 \(y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}\) 上の点を含み、 格子点のｘ座標、ｙ座標ともに正の数であるものとする。 解説 答え： \(（1，2）、（1，1）、（2，1）、（3，1）\) ～突破口～ \(\dfrac{5}{2}\) が5の半分、つまり2.5なので、１次関数\(y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}\) のグラフは、ｙ切片が2.5である右下がりのグラフとなります。それをまずは書きましょう。そのグラフの下側にある、ｘ座標が正の整数である格子点について調べることとなります。

\(y=-\dfrac{1}{2}x+3+b\) が格子点（１、ｎ）を通る。定数bがとりうる最小の値と、このときの整数ｎの値を求めなさい。ただしb＞0とする。 解説答え： \(b=0.5\)、\(n=3\)