tanの微分の公式と証明が誰でも必ずわかるようになる解説
tanの微分の公式と証明が誰でも必ずわかるようになる解説 2021 5/06 微分 2021年4月7日 2021年5月6日結論からお伝えすると、tan(θ)の微分は1/cos2(θ)になります。
なぜこうなるのでしょうか？その理由がわかると、単に公式を暗記するだけの場合と比べて、遥かに微分を深く理解できるようになります。そこで当ページでは、tanの微分について、誰でも理解できるようにアニメーションを使いながら、詳しく解説していきます。
それでは始めましょう。
目次1. tanとは
最初にtanについて簡単に復習しておきましょう。
tanとは単位円上にできる、なす角・・・をθとする直角三角形の斜辺の傾きのことです。これは以下のようにsinをcosで割ることで求められます。
tan(タンジェント)の定義
\[\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\]
なす角・・・がθの直角三角形において、sinは対辺（高さ）であり、cosは隣辺の長さ（底辺の長さ）なので、この計算は斜辺の傾きを求めるものであることがわかります。
そして、tanは視覚的には以下のアニメーションで示しているように底辺の長さが常に1で、斜辺の長さが \(\frac{1}{\cos(\theta)}\)の直角三角形の対辺の長さとしてイメージすることができます。そのためtanの値は、θが 0π (0°)・1π (180°) のときは0になり、1/2π (90°)・3/2π (270°) 付近では無限大または無限小になります。
tan（正接）とはこのtanを、横軸がθ・縦軸がtan(θ)のグラフに描いたものが有名なタンジェントカーブ（正接曲線）です。
タンジェントカーブ（正接曲線）以上がtanです。
なお、sinとcosについては以下のページで解説していますので、復習したい場合はぜひご確認ください。
- 『sinの微分はなぜcos？誰でも直観的に理解できるように解説』
- 『cosの微分が-sinになる理由を誰でも簡単に理解できるように解説』
2. tanの微分は 1/cos2(θ)
tanの微分公式は次の通りです。
tanの微分公式
\[\tan^{\prime}(\theta)=\frac{1}{cos^2(\theta)}\]
以下のアニメーションでは、これを視覚的に表しています。青が関数 tan(θ)、緑が導関数 1/cos2(θ) で赤線は各値での微分係数です。
tanの微分このようにtanの微分は、必ずこの公式の通りになります。それでは、なぜそうなるのでしょうか？次にこれについて考えていきましょう。
3. tanの微分の証明
なぜ、tan(θ)の微分は1/cos2(θ)になるのでしょうか。ただ公式の通りに盲目的に問題を解くのではなく、こうしたことについて深く考えることは、微分の理解を深めるためのとても良い訓練になります。
まず、微分は dy/dx で求められます。そして、三角関数の微分を理解するための鉄則は、単位円上の直角三角形において、このdyとdxが何を意味するのかを考えることにあります。
なお、dxはθの変化であり、dyはθが変化することによるtan(θ)の値の変化です。具体的には tan(θ+dx)-tan(θ) で求められます。これらを、それぞれ dθ・d(tan(θ)) と表すことにします。
念のため、これを以下に示しておきます。
tanの微分の計算方法
\[\tan^{\prime}(\theta)=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\tan(\theta+dx)-\tan(\theta)}{dx}=\dfrac{d(\tan(\theta))}{d\theta}\]
※見切れている場合は右にスクロールすることができます。
さて、それではdθとd(tan(θ))は何を意味しているのでしょうか。これを単位円上の直角三角形で視覚的に確認してみましょう。ぜひ、以下のアニメーションをご覧ください。
d(tan(θ))とd(θ)の視覚化このように視覚的に確認すると、d(tan(θ))と d(θ)/cos(θ) が小さな直角三角形を形成していることが見えてきます。そして、この小さな直角三角形をよく見てみると、半径が 1/cos(θ) の元の直角三角形と相似形になっていることがわかります。
以下のアニメーションでご確認ください。
tanの微分の証明以上のことから、小さな三角形の底辺と斜辺の比率は、大きな三角形の底辺と斜辺の比率である 1 : 1/cos(θ) と同じになることがわかります。そのため、最終的にtanの微分は次のように求めることができるのです。
書き換えた \(d(\tan(\theta))\) を微分式に代入
\[\begin{eqnarray}\tan^{\prime}(\theta)=\dfrac{dy}{dx}&=&\dfrac{d(\tan(\theta))}{d\theta}\\&=&\dfrac{\frac{d\theta}{\cos^2(\theta)}}{d\theta}\\&=&\dfrac{d\theta}{\cos^2(\theta)} \times \dfrac{1}{d\theta}\\&=&\dfrac{1}{\cos^{2}(\theta)}\end{eqnarray}\]
以上のことから、tanの微分は必ず公式の通りになります。
4. まとめ
いかがだったでしょうか。
tanの微分は、sinやcosと比べて少しトリッキーです。しかし、順番に考えていくと、スッキリと証明できることがわかります。当ページが理解の役に立ったなら、とても嬉しく思います。
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