sup(上限)とinf(下限)の意味，max・minとの違い

• レベル: ◎ 大学数学
• 解析

更新 2022/08/15

要素が実数である集合 AAA に対して

• max⁡A\max AmaxA：AAA の最大値，maximum(英語)，マックス(読み方の例)

• min⁡A\min AminA：AAA の最小値，minimum，ミン

• sup⁡A\sup AsupA：AAA の上限，supremum，スープ

• inf⁡A\inf AinfA：AAA の下限，infimum，インフ

大学数学（解析）で学ぶ sup⁡\supsup の意味について解説します。

min⁡\minmin は max⁡\maxmax の反対側，inf⁡\infinf は sup⁡\supsup の反対側なので，ここでは max⁡,sup⁡\max,\supmax,sup についてのみ解説します。

maxとsupの定義

まずは集合の最大値 max⁡\maxmax の定義です。

max⁡A=c  ⟺  \max A=c\iffmaxA=c⟺

• 任意の x∈Ax\in Ax∈A に対して x≤cx\leq cx≤c かつ
• c∈Ac\in Ac∈A

1つめの条件は，「ccc はどの要素よりも小さくはない」つまり「ccc は AAA の上界」であることを表しています。

次に集合の上限 sup⁡\supsup の定義です。

sup⁡A=c  ⟺  \sup A=c\iffsupA=c⟺

• 任意の x∈Ax\in Ax∈A に対して x≤cx\leq cx≤c かつ
• ccc より小さい任意の実数 rrr に対して，r<xr <xr<x なる x∈Ax\in Ax∈A が存在する（少しでも小さくすると上界でなくなる）

supの1つめの条件は，maxの1つめの条件と同じです。supの意味は「上界の最小値」です。

具体例

閉集合 A=[a,b]A=[a,b]A=[a,b] に対して，max⁡A=b\max A=bmaxA=b，sup⁡A=b\sup A=bsupA=b

AAA の最大値も上限も bbb です。

開集合 A=(a,b)A=(a,b)A=(a,b) に対して，max⁡A\max AmaxA は存在しない，sup⁡A=b\sup A=bsupA=b

最大値は存在しませんが，上限は存在します。

max⁡\maxmax と sup⁡\supsup の定義をもとに，例1と例2を確認してみてください！

supはmaxの一般化

ここからは sup⁡\supsup の有用性をなんとなく実感してもらうために，sup⁡\supsup の性質を2つ解説します。

max⁡A\max AmaxA が存在するなら sup⁡A=max⁡A\sup A=\max AsupA=maxA

sup⁡\supsup は max⁡\maxmax を拡張した概念になっているというわけです！

ほぼ自明ですが一応証明しておきます。

max⁡A=c\max A=cmaxA=c のとき，max⁡\maxmax の定義より，

1. 任意の x∈Ax\in Ax∈A に対して x≤cx\leq cx≤c

2. c∈Ac\in Ac∈A

sup⁡A=c\sup A=csupA=c を証明したいが，sup⁡A=c\sup A=csupA=c の条件の一つめは1そのものであり成立。二つ目は x=cx=cx=c とすれば，2より成立。

supは常に存在する

AAA が空でなく，上に有界なら sup⁡A\sup AsupA は常に存在する。

max⁡\maxmax は存在するとは限りませんが，sup⁡\supsup は(空でない場合は)常に存在するので，統一的に議論することができます。 sup⁡\supsup の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい（例えば高木貞治の解析概論）。

有界性について

先ほどの定理から sup⁡\supsup は上に有界な実数の集合に必ず存在します。sup⁡\supsup，inf⁡\infinf は有界性と密接に結びついている概念です。詳しくは

有界とは何か～上界・上限と下界・下限

を参照してください。

supが存在する条件として「AAA が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方，ありがとうございます！

マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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