二次元極座標における運動方程式とその導出
二次元極座標における運動方程式とその導出

二次元極座標における運動方程式とその導出

二次元極座標における運動方程式とその導出
  • レベル: ◎ 大学数学
  • 物理

更新 2021/03/07

二次元において運動方程式を極座標で記述すると，

m(r¨−rθ˙2)=Frm(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=F_rm(r¨−rθ˙2)=Fr​

m1rddt(r2θ˙)=Fθm\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=F_{\theta}mr1​dtd​(r2θ˙)=Fθ​

ただし，r˙\dot{r}r˙ は rrr の時間微分 drdt\dfrac{dr}{dt}dtdr​ を表します。ドット二つは二階微分です。

FrF_rFr​ は力の rrr 成分，FθF_{\theta}Fθ​ は力の θ\thetaθ 成分（θ\thetaθ を増やそうとする向きの成分，後述の図参照）を表します。

直交座標と極座標における運動方程式

二次元直交座標における運動方程式は，mx¨=Fxm\ddot{x}=F_xmx¨=Fx​ ，my¨=Fym\ddot{y}=F_ymy¨​=Fy​ と非常に単純です。

しかし，クーロン力や万有引力などの中心力を扱うときには Fθ=0F_{\theta}=0Fθ​=0 となるので極座標で考えた方が計算しやすいのです。例えば，惑星の軌道が二次曲線を描くことの導出では極座標が活躍します。

というわけで，この記事では直交座標の運動方程式から極座標の運動方程式を導出します。微分のよい練習になります。

ベクトルの変換

まずは，FrF_rFr​ と FθF_{\theta}Fθ​ を，FxF_xFx​ と FyF_yFy​ で表します。

1A： Fr=Fxcos⁡θ+Fysin⁡θF_r=F_x\cos\theta+F_y\sin\thetaFr​=Fx​cosθ+Fy​sinθ

1B： Fθ=−Fxsin⁡θ+Fycos⁡θF_{\theta}=-F_x\sin\theta+F_y\cos\thetaFθ​=−Fx​sinθ+Fy​cosθ

証明

rrr 方向の単位ベクトルを π2\dfrac{\pi}{2}2π​ 反時計周りに回転させると θ\thetaθ 方向の単位ベクトルになる。

よって，

Fx=Frcos⁡θ+Fθcos⁡(θ+π2)=Frcos⁡θ−Fθsin⁡θF_x=F_r\cos\theta+F_{\theta}\cos(\theta+\frac{\pi}{2})\\ =F_r\cos\theta-F_{\theta}\sin\thetaFx​=Fr​cosθ+Fθ​cos(θ+2π​)=Fr​cosθ−Fθ​sinθ Fy=Frsin⁡θ+Fθsin⁡(θ+π2)=Frsin⁡θ+Fθcos⁡θF_y=F_r\sin\theta+F_{\theta}\sin(\theta+\frac{\pi}{2})\\ =F_r\sin\theta+F_{\theta}\cos\thetaFy​=Fr​sinθ+Fθ​sin(θ+2π​)=Fr​sinθ+Fθ​cosθ

これを Fr,FθF_r,F_\thetaFr​,Fθ​ について解くと上記の公式を得る。

微分の変換

次は，直交座標の運動方程式の左辺 x¨,y¨\ddot{x},\ddot{y}x¨,y¨​ を r,θr,\thetar,θ を用いて表現します。

2A： x¨=r¨cos⁡θ−2r˙θ˙sin⁡θ−rθ¨sin⁡θ−rθ˙2cos⁡θ\ddot{x}=\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\thetax¨=r¨cosθ−2r˙θ˙sinθ−rθ¨sinθ−rθ˙2cosθ

2B： y¨=r¨sin⁡θ+2r˙θ˙cos⁡θ+rθ¨cos⁡θ−rθ˙2sin⁡θ\ddot{y}=\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\thetay¨​=r¨sinθ+2r˙θ˙cosθ+rθ¨cosθ−rθ˙2sinθ

証明

一つ目の式のみ証明する。二つ目もほぼ同様。

x=rcos⁡θx=r\cos\thetax=rcosθ の両辺を ttt で微分すると，

x˙=r˙cos⁡θ−rθ˙sin⁡θ\dot{x}=\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\thetax˙=r˙cosθ−rθ˙sinθ

ただし，r,θr,\thetar,θ はともに ttt の関数であることに注意して，積の微分公式と合成関数の微分公式を用いた。

もう一度微分すると，

x¨=r¨cos⁡θ−r˙θ˙sin⁡θ−r˙θ˙sin⁡θ−rθ¨sin⁡θ−rθ˙2cos⁡θ\ddot{x}=\ddot{r}\cos\theta-\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\thetax¨=r¨cosθ−r˙θ˙sinθ−r˙θ˙sinθ−rθ¨sinθ−rθ˙2cosθ

となり，整理すると目標の式となる。

極座標の運動方程式の導出

準備は整いました。ここからバサバサ打ち消す楽しい時間です。

（極座標の運動方程式の導出）

(2A) ×cos⁡θ+\times\cos\theta+×cosθ+ (2B) ×sin⁡θ\times\sin\theta×sinθ より，

x¨cos⁡θ+y¨sin⁡θ=r¨−rθ˙2\ddot{x}\cos\theta+\ddot{y}\sin\theta=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2x¨cosθ+y¨​sinθ=r¨−rθ˙2

（真ん中の二つは消える！）

両辺に mmm をかけて，直交座標の運動方程式を用いると，

Fxcos⁡θ+Fysin⁡θ=m(r¨−rθ˙2)F_x\cos\theta+F_y\sin\theta=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)Fx​cosθ+Fy​sinθ=m(r¨−rθ˙2)

これと(1A)より m(r¨−rθ˙2)=Frm(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=F_rm(r¨−rθ˙2)=Fr​

θ\thetaθ 方向についても同様。

(2A) ×(−sin⁡θ)+\times (-\sin\theta)+×(−sinθ)+ (2B) ×cos⁡θ\times\cos\theta×cosθ より，

−x¨sin⁡θ+y¨cos⁡θ=2r˙θ˙+rθ¨-\ddot{x}\sin\theta+\ddot{y}\cos\theta=2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}−x¨sinθ+y¨​cosθ=2r˙θ˙+rθ¨

（端の二つは消える！）

これと直交座標の運動方程式および(1B)より Fθ=m(2r˙θ˙+rθ¨)F_{\theta}=m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})Fθ​=m(2r˙θ˙+rθ¨)

これでもよいが，（r2θ˙r^2\dot{\theta}r2θ˙ の時間微分は 2rr˙θ˙+r2θ¨2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}2rr˙θ˙+r2θ¨ となることを用いて）さらに少し変形すると，

m1rddt(r2θ˙)=Fθm\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=F_{\theta}mr1​dtd​(r2θ˙)=Fθ​

を得る。

極座標の運動方程式を使えば地球の公転軌道が楕円であることを証明できます！→地球の公転軌道が楕円であることの導出

最後消える部分がたまりませんね。長い（そんなに長くないけど）努力が報われます。

この記事の監修者

マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

  • レベル: ◎ 大学数学
  • 物理
📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎
BOT