三次方程式の判別式の意味と使い方

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更新 2021/03/07

三次方程式 ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 の解を α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ とおく。このとき，判別式を， D=a4(α−β)2(β−γ)2(γ−α)2D=a^4(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2D=a4(α−β)2(β−γ)2(γ−α)2 とする。

この記事では実数係数の三次方程式のみを考えます。判別式に関する定理を解説し，最後に例題です。

三次方程式の判別式

• 二次方程式の判別式 b2−4acb^2-4acb2−4ac は，a2(β−α)2a^2(\beta-\alpha)^2a2(β−α)2 と表すこともできます（→判別式まとめ【2次方程式の実数解・x軸との共有点の個数】の一番下）。
• 一般に nnn 次方程式の判別式は多項式の係数を用いて定義されるのではなく「解の差の二乗をかけあわせたもの（に a2n−2a^{2n-2}a2n−2 をかけたもの）」で定義されます。
• 三次方程式の判別式を多項式の係数で表すこともできます（後述）。このとき分数が登場するのを防ぐために頭に a4a^4a4 がついていますが，本質的に重要な部分ではありません。

重解判定

三次方程式において，判別式 D=0  ⟺  D=0\iffD=0⟺ 重解を持つ

判別式の定義式より，当たり前の定理です。これは一般の nnn 次方程式で成立します。

実数解の個数の判定

三次方程式において，

D>0  ⟺  D > 0\iffD>0⟺ 相異なる実数解を3つ持つ

D<0  ⟺  D <0\iffD<0⟺ 実数解は1つ

注：この定理は三次方程式でしか成立しません。

定理2の証明には共役複素数の覚えておくべき性質の「重要な性質」を使います。

実数係数の三次方程式の解について，以下の3パターンに場合分けできる。

1．重解あり

2．相異なる実数解が3つ

3．実数解が1つと（互いに共役な）複素数解が2つ

それぞれのパターンについて判別式 DDD の符号を考える。

• 1のとき D=0D=0D=0 である（定理1）。
• 2のとき，判別式は明らかに正。
• 3のとき，解は α,A+Bi,A−Bi\alpha,A+Bi,A-Biα,A+Bi,A−Bi（α,A,B\alpha,A,Bα,A,B は実数）とおける。 このとき，判別式を計算すると D=a4(α−A−Bi)2(α−A+Bi)2(2Bi)2=a4{(α−A)2−(Bi)2}2×(−4B2)=−4a4B2{(α−A)2+B2}2<0D=a^4(\alpha-A-Bi)^2(\alpha-A+Bi)^2(2Bi)^2\\ =a^4\{(\alpha-A)^2-(Bi)^2\}^2\times (-4B^2)\\ =-4a^4B^2\{(\alpha-A)^2+B^2\}^2 <0D=a4(α−A−Bi)2(α−A+Bi)2(2Bi)2=a4{(α−A)2−(Bi)2}2×(−4B2)=−4a4B2{(α−A)2+B2}2<0 （B≠0B \neq 0B=0 に注意）

以上により定理2が示された。

判別式を係数で表す

上記の定理1，2だけでは使い物になりません。実数解の個数を判定するためには判別式を係数で表す必要があります。

三次方程式 ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 の判別式は，

D=−4ac3−27a2d2+b2c2+18abcd−4b3dD=-4ac^3-27a^2d^2+b^2c^2+18abcd-4b^3dD=−4ac3−27a2d2+b2c2+18abcd−4b3d

特に，三次方程式 x3+cx+d=0x^3+cx+d=0x3+cx+d=0 の判別式は，

D=−4c3−27d2D=-4c^3-27d^2D=−4c3−27d2

• 1つめで a=1,b=0a=1,b=0a=1,b=0 としたものが2つめです。

• 1つめは，終結式の定義といくつかの性質で紹介している2つの定理を使うことで導出できます（5×5行列の行列式を計算することになります）。

• 2つめの別の証明の概略を以下に示します。考え方は簡単ですが計算はめんどうです。

三次方程式の解と係数の関係より，α+β+γ=0\alpha+\beta+\gamma=0α+β+γ=0，αβ+βγ+γα=c\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=cαβ+βγ+γα=c，αβγ=−d\alpha\beta\gamma=-dαβγ=−d

これを用いて対称式 (α−β)2(β−γ)2(γ−α)2(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2(α−β)2(β−γ)2(γ−α)2 を c,dc,dc,d で表すと −4c3−27d2-4c^3-27d^2−4c3−27d2 となる。

例題

方程式 x3−x+t=0x^3-x+t=0x3−x+t=0 が相異なる実数解を3つ持つための条件を求めよ。

D=4−27t2D=4-27t^2D=4−27t2

よって，D>0D > 0D>0 となる条件は t2<427t^2 <\dfrac{4}{27}t2<274​ である。

注：判別式など使わずにグラフと xxx 軸との共有点の数を見るのが正攻法です。判別式を使うとやや楽に計算できるので，検算に使えます。

四次以上の方程式の判別式は複雑すぎて使い物になりません。

マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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