【問題一覧】中３｜相似な図形

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1. 【問題一覧】中学数学３　相似な図形
   1. 相似な図形と相似比
   2. 相似の位置
   3. 三角形の相似条件
   4. 相似な三角形
   5. 相似の証明
   6. 三角形と線分の比
   7. 三角形の線分の比と平行線
   8. 中点連結定理
   9. 中点連結定理の利用
   10. 平行線と線分の比
   11. 角の二等分線と比
   12. 相似な図形の面積比
   13. 相似な立体の表面積比と体積比
   14. 相似の利用
   15. 縮図の利用

【問題一覧】中学数学３　相似な図形

次の問いに答えよ。

　①　相似であることを記号で表せ。 　②　辺 \({\rm EF}\) の長さを求めよ。 　③　辺 \({\rm BC}\) の長さを求めよ。 　④　\(\angle {\rm F}\) の大きさを求めよ。

　①　相似であることを記号で表せ。 　②　相似比を求めよ。 　③　辺 \({\rm DE}\) の長さを求めよ。 　④　\(\angle {\rm E}\) の大きさを求めよ。

【解答】 \({\small (1)}~\) 　①　四角形 \({\rm ABCD}\) \(\,\,\unicode{x223D}\,\,\) 四角形 \({\rm EFGH}\) 　②　\({\rm EF}=9~{\rm cm}\) 　③　\({\rm BC}=8~{\rm cm}\) 　④　\(\angle {\rm F}=60^\circ\)

次の問いに答えよ。

\({\small (2)}~\)次の図に、点 \({\rm O}\) を相似の中心として、\(\triangle {\rm ABC}\) を \(3\) 倍に拡大した \(\triangle {\rm A’B’C’}\) をかけ。

\({\small (3)}~\)次の図に、点 \({\rm O}\) を相似の中心として、四角形 \( {\rm ABCD}\) を \(\begin{split} \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\) 倍に縮小した四角形 \( {\rm A’B’C’D’}\) をかけ。

【解答】 \({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

次の図において、相似な三角形を見つけて、記号を使って表せ。また、そのときの相似条件を答えよ。

【解答】 ①と④ 　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm LJK}\) 　３組の辺の比がそれぞれ等しい ②と⑥ 　\(\triangle {\rm DEF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm QPR}\) 　２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい ③と⑤ 　\(\triangle {\rm GHI}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OMN}\) 　２組の角がそれぞれ等しい

次の図において、相似な三角形を見つけて、記号を使って表せ。また、そのときの相似条件を答えよ。 \({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

\({\small (4)}~\)

【解答】 \({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AED}\) 　２組の角がそれぞれ等しい

次の証明をせよ。

\({\small (2)}~\)\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm ACB}\) のとき、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DBA}\) の相似を証明せよ。

\({\small (3)}~\)\({\rm AD\,//\,BC}\) を証明せよ。

【解答】 \({\small (1)}~\) [証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADE}\) において、 \({\rm A}\) が共通の角より、 　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DAE}~~~\cdots{\large ①}\) \({\rm BC\,//\,DE}\) より同位角が等しいから、 　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ADE}~~~\cdots{\large ②}\) ①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから 　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ADE}\) [終]

次の図で \({\rm BC\,//\,DE}\) のとき、\(x~,~y\) の値を求めよ。

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

【解答】 \({\small (1)}~\)\(x=6~~{\rm cm}~,~y=4~~{\rm cm}\) \({\small (2)}~\)\(x=15~~{\rm cm}~,~y=6~~{\rm cm}\) \({\small (3)}~\)\(x=15~~{\rm cm}~,~y=16~~{\rm cm}\)

次の問いに答えよ。

　\({\rm AD:DB=AE:EC}=2:1\) であるとき、次の問いに答えよ。

【解答】 \({\small (1)}~\) 　①　\({\rm AD:AB}=2:3\) 　②　線分 \({\rm BC}\) と \({\rm DE}\) は平行 　③　\({\rm BC:DE}=3:2\)

次の問いに答えよ。

①　辺 \({\rm BC}\) と線分 \({\rm DE}\) の関係を答えよ。 ②　線分 \({\rm DE}\) の長さを求めよ。

①　\(\triangle {\rm DEF}\) の周の長さを求めよ。 ②　合同な図形をすべて答えよ。 ③　相似である \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm EFD}\) の相似条件と相似比を求めよ。

①　\({\rm AG:GC}\) の比を求めよ。 ②　\({\rm CF:FD}\) の比を求めよ。 ③　線分 \({\rm EF}\) の長さを求めよ。

【解答】 \({\small (1)}~\) 　①　\({\rm DE\,//\,BC}\) 　②　\({\large \frac{\,15\,}{\,2\,}} ~{\rm cm}\)

次の問いに答えよ。

①　四角形 \({\rm EFGH}\) が平行四辺形であることを証明せよ。 ②　\({\rm AC=BD}\) のとき、四角形 \({\rm EFGH}\) はどのような四角形となるか答えよ。 ③　四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形のとき、四角形 \({\rm EFGH}\) はどのような四角形となるか答えよ。 ④　四角形 \({\rm ABCD}\) がひし形のとき、四角形 \({\rm EFGH}\) はどのような四角形となるか答えよ。

①　四角形 \({\rm EPFQ}\) が平行四辺形であることを証明せよ。 ②　\({\rm AD=BC}\) のとき、四角形 \({\rm EPFQ}\) はどのような四角形となるか答えよ。

【解答】 \({\small (1)}~\) 　①　[証明] 対角線 \({\rm AC}\) を引くと、

\(\triangle {\rm ABC}\) において、点 \({\rm E~,~F}\)はそれぞれ辺 \({\rm AB~,~BC}\) の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm EF\,//\,AC}~,~{\rm EF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}$$また、\(\triangle {\rm DAC}\) において、点 \({\rm H~,~G}\)はそれぞれ辺 \({\rm AD~,~CD}\) の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm HG\,//\,AC}~,~{\rm HG}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}$$ よって、\({\rm EF\,//\,AC}\) と \({\rm HG\,//\,AC}\) より、$$~~~{\rm EF\,//\,HG}$$\({\rm EF={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}AC}\) と \({\rm HG={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}AC}\) より、$$~~~{\rm EF=HG}$$これより、１組の対辺が等しくて平行であるので、 四角形 \({\rm EFGG}\) は平行四辺形である [終] 　②　四角形 \({\rm EFGH}\) はひし形 　③　四角形 \({\rm EFGH}\) はひし形 　④　四角形 \({\rm EFGH}\) は長方形

点 \({\rm E~,~Q}\)はそれぞれ辺 \({\rm AB~,~AC}\) の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm EQ\,//\,BC}~,~{\rm EQ}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}$$また、\(\triangle {\rm DBC}\) において、

点 \({\rm P~,~F}\)はそれぞれ辺 \({\rm DB~,~DC}\) の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm PF\,//\,BC}~,~{\rm PF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}$$ よって、\({\rm EQ\,//\,BC}\) と \({\rm PF\,//\,BC}\) より、$$~~~{\rm EQ\,//\,PF}$$\({\rm EQ={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}BC}\) と \({\rm PF={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}BC}\) より、$$~~~{\rm EQ=PF}$$これより、１組の対辺が等しくて平行であるので、 四角形 \({\rm EPFQ}\) は平行四辺形である [終] 　②　四角形 \({\rm EPFQ}\) はひし形

次の図で \(l\,//\,m\,//\,n\) であるとき、\(x\) の値を求めよ。

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

【解答】 \({\small (1)}~x=4~{\rm cm}\) \({\small (2)}~x=8~{\rm cm}\) \({\small (3)}~x=9~{\rm cm}\)

次の問いに答えよ。

【解答】 \({\small (1)}~\)[証明]

点 \({\rm C}\) を通り線分 \({\rm DA}\) に平行な直線と、辺 \({\rm AB}\) の延長線との交点を \({\rm E}\) とする \({\rm AD\,//\,EC}\) より、同位角が等しいので、 　\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm AEC}\) \({\rm AD\,//\,EC}\) より、錯角が等しいので、 　\(\angle{\rm DAC}=\angle{\rm ACE}\) また、仮定より、 　\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) よって、 　\(\angle{\rm AEC}=\angle{\rm ACE}\) \(\triangle {\rm ACE}\) は二等辺三角形となり、 　\({\rm AC=AE}~~\cdots{\large ①}\) また、\(\triangle {\rm BEC}\) において、\({\rm AD\,//\,EC}\) であるので、三角形の線分の比の定理より、 　\({\rm BA:AE=BD:DC}~~\cdots{\large ②}\) ①、②より、 　\({\rm AB:AC=BD:DC}\) [終]

次の問いに答えよ。

①　相似比を求めよ。 ②　面積比を求めよ。 ③　\(\triangle {\rm ABC}\) の面積が \(60~{\rm cm}^2\) のとき、\(\triangle {\rm DEF}\) の面積を求めよ。

①　\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADE}\) の面積比を求めよ。 ②　\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm AFG}\) の面積比を求めよ。 ③　台形 \({\rm DFGE}\) と台形 \({\rm FBCG}\) の面積比を求めよ。

②　\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\)

【解答】 \({\small (1)}~\) 　①　\(1:2\)　　　②　\(1:4\)

次の問いに答えよ。

①　もとの円すいと円すいＡの体積比を求めよ。 ②　円すいＡと立体Ｂの体積比を求めよ。 ③　もとの円すいの体積が \(96\pi~{\rm cm}^3\) のとき、立体Ｂの体積を求めよ。

【解答】 \({\small (1)}~\) 　①　\(3:5\)　　　②　\(9:25\) 　③　\(27:125\)

次の問いに答えよ。

①　容器と水の入った部分の相似比を求めよ。 ②　容器が容積 \(1000~{\rm cm}^3\) のとき、入っている水の体積を求めよ。

【解答】 \({\small (1)}~\) 　①　\(2700\) 円　　　②　\(3675\) 円

次の問いに答えよ。

【解答】 \({\small (1)}~\)ビルの高さ \(6.3~{\rm m}\)