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Final_stellation_of_the_icosahedron 二十面体の最終星型 2つの対称正射影 対称群 二十面体（I h） タイプ 星型二十面体、59の8日 記号 デュヴァルHウェニンガー：W 42 要素（スター多面体として） F = 20、E = 90 V = 60（χ = −10） 要素（単純な多面体として） F = 180、E = 270、V = 92（χ = 2） プロパティ（スター多面体として） 頂点推移的、面推移的 星型多面体図 星型多面体コア 凸包 二十面体 切頂二十面体 幾何学では、二十面体の完全または最終星型 は二十面体の最も外側の星型であり、二十面体の星型図のすべてのセルが含まれているため、「完全」および「最終」です。つまり、二十面体コアの3つの交差する面ごとに、この多面体の頂点またはその内部で交差します。 この多面体は二十面体の17番目の星型であり、ウェニンガーモデルインデックス42として与えられます。 幾何学的図形として、以下に説明する2つの解釈が 20個の同一の自己交差するエネアグラム面、90個のエッジ、60個の頂点を持つ不規則な 星（自己交差）多面体として。 180個の三角形の面（60個の二等辺三角形、120個の不等辺三角形）、270個のエッジ、および92個の頂点を持つ単純な多面体として。この解釈は、多面体モデルの構築に役立ちます。 Johannes Keplerは、1619年に通常の星型多面体（Kepler-Poinsot多面体）を作成する星型多面体を研究しましたが、不規則な面を持つ完全な二十面体は、1900年にMaxBrücknerによって最初に研究されました。

コンテンツ 1 歴史2 解釈 2.1 星型多面体として 2.2 単純な多面体として 2.3 スター多面体として 3 も参照してください4 ノート5 参考文献6 外部リンク

歴史  ブリュックナーのモデル（Taf。XI、図14、1900）  ハリモグラ 1619年：ハーモニスムンディでは、ヨハネスケプラーが最初に星型多面体プロセスを適用し、小星型十二面体と大星型十二面体を通常の多面体として認識しました。 1809年：ルイ・ポアンソは、ケプラーの多面体と、さらに2つ、大二十面体と大十二面体を通常の星型多面体として再発見しました。現在は、ケプラー-ポアンソ多面体と呼ばれています。 1812年：オーギュスタン=ルイ・コーシーは、星の多面体をさらに列挙し、通常の星の多面体が4つしかないことを証明しました。 1900年：マックス・ブリュックナーは、星型多面体理論を通常の形式を超えて拡張し、完全二十面体を含む二十面体の10個の星型多面体を特定しました。 1924年：AH Wheelerは、1924年に、完全な星型を含む20個の星型多面体（反射コピーを含む22個）のリストを公開しました。 1938年：1938年の著書、The Fifty Nine Icosahedra、HSM Coxeter、P。DuVal、HT Flather、JF Petrieは、正二十面体の一連の星型多面体規則を述べ、それらの規則に準拠した59個の星型多面体を体系的に列挙しました。 。完全な星型は、本の中で8番目として参照されています。 1974：Wenningerの1974年の本Polyhedron Modelsには、二十面体の最終的な星型が、インデックス番号W42の星型二十面体の17番目のモデルとして含まれています。 1995年：Andrew Humeは、Netlib多面体データベースでそれをハリモグラと名付けました（ハリモグラ、またはとげのあるanteaterは、粗い髪と棘で覆われ、自分自身を保護するためにボールに丸まる小さな哺乳類です）。

解釈   番号付きのセルを持つ二十面体の星型多面体図。完全二十面体は星型多面体のすべてのセルから形成されますが、図で「13」とラベル付けされた最も外側の領域のみが表示されます。 二十面体の最終星型の3Dモデル

星型多面体として59の二十面体 多面体の星型は、多面体の面を無限の平面に拡張し、これらの平面を面として、これらの平面の交点をエッジとして境界を定めた新しい多面体を生成します。正二十面体は、完全な星型を含む、JCPミラーによって提唱された一連の規則に従って、正二十面体の星型多面体を列挙します。完全な星型のDuValシンボルはHです。これは、最も外側の「h」層までの星型図のすべてのセルが含まれているためです。

単純な多面体として  多面体モデルは、それぞれが5つのピラミッドのグループに折りたたまれた12セットの面で構築できます。 単純で目に見える表面多面体として、最終的な星型の外向きの形は、星型多面体図の最も外側の三角形の領域である180個の三角形の面で構成されています。これらは270のエッジに沿って結合し、それらは92の頂点で交わり、オイラー標数は2になります。 92個の頂点は、3つの同心球の表面に20個の頂点の最も内側のグループは、正十二面体の頂点を形成します。次の12層は、正二十面体の頂点を形成します。60の外層は、不均一な切頂二十面体の頂点を形成します。これらの球の半径はの比率です。3 2（（ 3+ 5 ）。 ：1 2（（ 25 +11 5 ）。 ：1 2 （（ 97 +43 5 ）。 { { sqrt {{ frac {3} {2}} left（3+ { sqrt {5}} right）}} 、：、{ sqrt {{ frac {1} { 2}} left（25 + 11 { sqrt {5}} right）}} 、：、{ sqrt {{ frac {1} {2}} left（97 + 43 { sqrt { 5}} right）}} 、。}   頂点の各球の凸包内側 真ん中 アウター 3つすべて 20個の頂点 12個の頂点 60の頂点 92個の頂点  十二面体  二十面体  不均一な切頂二十面体  完全二十面体 辺の長さがa、φa 、φ2a 、φ2a√2 （ φは黄金比）の3次元固体オブジェクトと見なすと、完全二十面体は表面積を持ちます。 S =1 20（（ 13211+ 174306161 ）。 a 2 { S = { frac {1} {20}}（13211 + { sqrt {174306161}}）a ^ {2} ，，} Spread the love