Maximaでこうぞうりきがく

変分法 その3の中で"最速降下曲線はサイクロイド曲線になる"というお話をしましたが，今回はこれを確認してみたいと思います cycloid.wxm s : 媒介変数 A : 動円の半径 サイクロイドの媒介変数表示を%o1, %o2式に示します

媒介変数表示による微分則を%o3式に示します 上式の右辺に%o1, %o2式を代入してまとめると%o5式を得ます 両辺を2乗したものが%o6式，sin(s)^2を書き直したものが%o7式 yの媒介変数表示（%o2）をcos(s)について解いた結果で上式を書き直したものが%o8式となります

ということで，最速降下曲線を与える1階の常微分方程式が得られます

描画範囲内のdiff(y, x)の正負をassume関数で定義します（画面出力は省略） 符号に注意して%o8式両辺の平方根を%o10式に示します この常微分方程式をode2関数で解いた結果を%o11式に示します（%cは積分定数） いま A = -1 として上式に代入します（%o12） ic1関数を用いて点[π, -2]を通る条件を与えて%cを求めます（%o13） 上式をxについて解いた結果が%o14式となります

xをyの関数として -2≦y≦0 の範囲でプロットします（%t15） 変分法 その3の最速降下曲線と同じ曲線が得られていることが解ります

追記 サイクロイドは直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡として描かれます Wikipediaで作図アニメーションを見ることができます サイクロイドの大きさを決めるパラメータAはこの動円の半径に相当します